MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:


Giải:
Xét các biểu thức sau





Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì:




Cộng theo vế ta có
A + B +2S ≥3
S≥
(Điều phải chứng minh)


Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:


Giải : Đặt





Theo bất đẳng thức Cauchy thì:








Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng minh)


Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:


Ta có:


Tương tự ta có:




Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:



vậy



Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:


Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d)
= 4(ab + bc + cd + da) = 4
a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)


Tương tự ta có






Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:


vậy



Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:

(1)
Giải:
VT(1) ≥



Dấu ‘=’ xảy ra


a=b=c


Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:


Giải

a, b, c >0 ta luôn có
(a - b)2(a + b) ≥0
(a - b)(a2 - b2) ≥0
a3+b3-a2b-ab2≥0

a3+b3≥ a2b+ab2
a3+b3≥ab(a+b)



Tương tự ta có




Cộng theo vế ta có:






Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện
x2+ y2+z2=3. Chứng minh rằng:

(1)
Giải : Ta có:







VT(1) bình phương ta được:






=
=VP(1) bình phương
Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng minh


Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:


Giải:

x, y, z dương ta luôn có: (x-y)2(x+y)(x2+xy+y2)
0

(x2-y2)(x3-y3)
0
x5-y5
x2y2(x+y)





Tương tự ta có

,

cộng theo vế các bất đẳng thức ta có




Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn thoả mãn


Chứng minh rằng: x1.x2..... xn
(n-1)n
Giải:Ta có



....


Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:



x1.x2..... xn
(n-1)n


Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4.
Chứng minh rằng:


Giải:
Ta có:



Tương tự ta có:

,
,

Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có:




Mặt khác ta có:
42 = (a+b+c+d)2
4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)
hay ab+bc+cd+da
a+b+c+d
Tương tự abc+bcd+cda+dab
a+b+c+d
vậy



=
(điều phải chứng minh)


Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng:


Giải:


Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a2 +b2+c2)